Oui, car on a prouvé que \(\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = 2\).

Par définition, \(f\) est donc dérivable en \(1\) et le nombre dérivé de \(f\) en \(1\) est \(f'(1)=2\)

Nommons \(T_{1}\) cette tangente d'équation \(y=mx+p\)

Son coefficient directeur est \(m=f'(1)=2\)

Elle passe par le point \(A(1,1)\) donc \(1=2 \times 1+p\) donc \(p=-1\)

Une équation de \(T_{1}\) est donc \(y=2x-1\)

On peut aussi appliquer la formule \(y=f'(1) \times (x-1) + f(1)\) qui donne \(y=2(x-1)+1\) équivalente à \(y=2x-1\).

Pour tout réel \(h \neq 0\) on a \[f(3+h)-f(3)=(3+h)^2-3^2=9+6h+h^2-9=6h+h^2\]

Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(3\) et \(3+h\) est donc \[\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=\frac{h(6+h)}{h}=6+h\].

Lorsque \(h\) tend vers \(0\) le taux d'accroissement \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=6+h\) tend vers \(6\)

On note \[\lim_{h \to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = 6\]

Par définition, \(f\) est donc dérivable en \(3\) et le nombre dérivé de \(f\) en \(3\) est \(f'(3)=6\)

Nommons \(T_{3}\) cette tangente d'équation \(y=mx+p\)

Son coefficient directeur est \(m=f'(3)=6\)

Elle passe par le point \(B(3,9)\) donc \(9=6 \times 3+p\) donc \(p=-9\)

Une équation de \(T_{3}\) est donc \(y=6x-9\)

On peut aussi appliquer la formule \(y=f'(3) \times (x-3) + f(3)\) qui donne \(y=6(x-3)+9\) équivalente à \(y=6x-9\).