Question 1

• Vitesse moyenne de la balle entre les instants \(t = 0,46~\text{s}\) et \(t = 0,54~\text{s}\) : \[\frac{1,4-1,019}{0,08} = 4,7625 \text{m.s}^{-1}\]

• Vitesse moyenne de la balle entre les instants \(t = 0,48~\text{s}\) et \(t = 0,52~\text{s}\) : \[\frac{1,298-1,106}{0,04} = 4,80 \text{m.s}^{-1}\]

Question 2

La distance \(d(t)\) parcourue par la balle en fonction du temps \(t\) écoulé en secondes est : \[d(t)=4,9t^2\]

Question 2.a

• Soit \(h\) un réel strictement positif, la vitesse moyenne de la balle entre les instants \(t=0,5\) et \(t=0,5 + h\) : \begin{align*} \text{vitesse moyenne} &= \frac{d(0,5+h) - d(0,5)}{h} \\ \text{vitesse moyenne} &= \frac{4,9(0,5+h)^{2} - 4,9 \times 0,5^2}{h} \\ \text{vitesse moyenne} &= \frac{4,9(0,5^2+h+h^{2}) - 4,9 \times 0,5^2}{h} \\ \text{vitesse moyenne} &= \frac{4,9h+4,9h^{2}}{h} \\ \text{vitesse moyenne} &= \frac{4,9h}{h} + \frac{4,9h^{2}}{h} \\ \text{vitesse moyenne} &= 4,9 + 4,9 h \\ \end{align*}

Question 2.b

• Soit \(h\) un réel strictement positif, la vitesse moyenne de la balle entre les instants \(t=0,5\) et \(t=0,5+h\) est \(4,9 + 4,9 h\).

  • pour \(h=0,1\), la vitesse moyenne entre les instants \(t=0,5\) et \(t=0,6\) est \[4,9 + 4,9 \times 0,1= 5,39 \text{m.s}^{-1}\]

  • pour \(h=0,01\), la vitesse moyenne entre les instants \(t=0,5\) et \(t=0,51\) est \[4,9 + 4,9 \times 0,01= 4,949 \text{m.s}^{-1}\]

  • pour \(h=0,001\), la vitesse moyenne entre les instants \(t=0,5\) et \(t=0,501\) est \[4,9 + 4,9 \times 0,001= 4,9049 \text{m.s}^{-1}\]

Lorsque \(h\) tend vers \(0\), la vitesse moyenne entre les instants \(t=0,5\) et \(t=0,5 + h\) tend vers \(4,9 \text{m.s}^{-1}\) qui est la vitesse instantanée du mobile à l'instant \(t= 0,5\)

On note : \[ \lim_{h \to 0}4,9 + 4,9 h = 4,9 \] Et donc : \[\lim_{h \to 0}\frac{d(0,5+h)-d(0,5)}{h} = 4,9 \]