Rituel du 04/10/2023

Démontrer que la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2f(x)=x^{2} est dérivable en 33.

Étape 1 Soit hh un réel non nul, on exprime d'abord le taux de variation f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h}. On commence par développer et réduire le numérateur f(3+h)−f(3)f(3+h) - f(3)

Réponse de Étape 1

f(3+h)−f(3)=(3+h)2−32f(3+h)-f(3)=(3+h)^{2} - 3^{2}
f(3+h)−f(3)=9+6h+h2−32f(3+h)-f(3)=9+6h+h^{2} - 3^{2}
f(3+h)−f(3)=6h+h2f(3+h)-f(3)=6h+h^{2}

Étape 2 Ensuite on simplifie le dénominateur dans la fraction représentant le taux de variation f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h}

Réponse de Étape 2

f(3+h)−f(3)h=6h+h2h\frac{f(3+h) - f(3)}{h}=\frac{6h+h^{2}}{h}

donc f(3+h)−f(3)h=h(6+h)h=6+h\frac{f(3+h) - f(3)}{h}=\frac{h(6+h)}{h}=6+h

Étape 3 Enfin on fait tendre hh vers 00 dans l'expression simplifié du taux de variation, ainsi on détermine la limite de f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h} quand hh tend vers 00.

Réponse de Étape 3

Si hh tend vers 00, alors f(3+h)−f(3)h=6+h\frac{f(3+h) - f(3)}{h}=6+h tend vers 66.

On dit que la limite de f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h} lorsque hh tend vers 00 est 66.

On note lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h=6\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = 6.

Étape 4 Enfin on conclut sur la dérivabilité de ff en 33.

Réponse de Étape 4

On a lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h=6\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = 6 donc par définition ff est dérivable en 33 et son nombre dérivé en 33 est f′(3)=6f'(3)=6.