Rituel du 06/11/2023

Étudier la dérivabilité en 00 de la fonction racine carrée définie sur [0;+∞[[0;+\infty[ par f(x)=xf(x)=\sqrt{x}. La correction sera recopiée dans l'espace laissé pour la démonstation de la propriété 3 du cours (page 12).

Question 1

Soit un réel h>0h>0, démontrer que le taux de variation de f:x↦xf:x \mapsto \sqrt{x} entre 00 et 0+h0+h est égal à : T(h)=1hT(h)=\frac{1}{\sqrt{h}}

Question 2

Soit nn un entier naturel, justifier que si :

0<h<10−2n0 < h <10^{-2n} alors :
T(h)>10nT(h)>10^{n}

Question 3

Déduire de ce qui précède la limite de T(h)T(h) lorsque hh tend vers 00 (par valeurs supérieures à 0)

Question 4

La fonction racine carrée satisfait-elle la définition d'une fonction dérivable en 0 ? Conclure.

Correction Q1

Soit un réel h>0h>0, le taux de variation de f:x↦xf:x \mapsto \sqrt{x} entre 00 et 0+h0+h est égal à :
T(h)=0+h−0h=hhT(h)=\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}

Or h=(h)2h=(\sqrt{h})^{2} donc :

T(h)=h(h)2=1hT(h)= \frac{\sqrt{h}}{(\sqrt{h})^{2}} = \frac{1}{\sqrt{h}}

Correction Q2

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}, si 0<h<10−2n0 < h <10^{-2n} alors par croissance de \sqrt{} sur [0;+∞[[0;+\infty[

0<h<10−2n=(10−n)2=10−n0 < \sqrt{h} < \sqrt{10^{-2n}} = \sqrt{(10^{-n})^{2}}=10^{-n}

puis par décroissance de la fonction inverse sur ]0;+∞[]0;+\infty[

1h>110−n=10n\frac{1}{\sqrt{h}}>\frac{1}{10^{-n}}=10^{n}

Correction Q3

Si hh tend vers 00 par valeurs supérieures, alors hh peut devenir plus petit que n'importe quel 10−2n10^{-2n} avec nn entier naturel et donc d'après ce qui précède, T(h)=1hT(h)=\frac{1}{\sqrt{h}} peut devenir plus grand que n'importe quel 10n10^{n}. On dit que si hh tend vers 00, alors T(h)T(h) tend vers +∞+\infty.

Correction Q4

Si la fonction racine carrée était dérivable en 0 alors son taux de variation T(h)T(h) tendrait vers un nombre fini quand hh tend vers 0. Ce n'est pas le cas donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.