Rituel du 11/03/2024

Question 1

Soit $u$ la suite définie par $u_{0}=4$ et

$\forall n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n} + 1$.

Calculer $u_{1}$, $u_{2}$ et $u_{3}$.

Question 2

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on définit :

$v_{n}=u_{n}-2$

Calculer $v_{0}$, $v_{1}$, $v_{2}$ et $v_{3}$.

Conjecturer la nature de la suite $v$.

Question 3

Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a :

$v_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n} -1$.

Question 4

Déduire de ce qui précède que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a :

$v_{n+1}=\frac{1}{2}v_{n}$.

Conclure sur la nature de la suite $v$.