Produit scalaire, exercices du 29/04/2024

Exercice 1

Soit mm un réel. Dans une base orthonormée, on donne :

u→(m;−2)\overrightarrow{u}(m;-2) et v→(m−1;6−m)\overrightarrow{v}(m-1;6-m).

Déterminer les valeurs de mm pour lesquelles u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux.

Exercice 2

Dans un repère orthonormé du plan, on donne :

A(2;1)A(2;1), B(−1;−5)B(-1;-5) et C(−3;−1)C(-3;-1).

Calculer BA→ ⋅ BC→\overrightarrow{BA}\: \cdot \: \overrightarrow{BC}.

En déduire une mesure en radians de l'angle ABC^\widehat{ABC}.

Exercice 3

Démontrer que pour tout couple de vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v}, on a :

∥u→+v→∥2+∥u→−v→∥2=2(∥u→∥2+∥v→∥2)\Vert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \Vert ^{2} + \Vert \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \Vert ^{2} = 2 \left(\Vert \overrightarrow{u} \Vert ^{2} + \Vert \overrightarrow{v} \Vert ^{2} \right)

Exercice 4

Soit AA et BB deux points du plan tels que AB=3AB=3 et II le milieu de [AB][AB].

Soit MM un point quelconque du plan, on note HH son projeté orthogonal sur (AB)(AB) et kk le réel tel que IH→=kBA→\overrightarrow{IH}=k \overrightarrow{BA}.

Exercice 4 question 1

On rappelle que II milieu de [AB][AB]. Démontrer que :

MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}.

Exercice 4 question 2

Démontrer que :

MA2−MB2=2BA→ ⋅ MI→MA^{2}-MB^{2}=2\overrightarrow{BA} \: \cdot \: \overrightarrow{MI}

en déduire que :

MA2−MB2=−2BA→ ⋅ IH→MA^{2}-MB^{2}=-2\overrightarrow{BA} \: \cdot \: \overrightarrow{IH}

puis que :

MA2−MB2=−18kMA^{2}-MB^{2}= -18k

Exercice 4 question 3

L'ensemble des points MM du plan tels que :

MA2−MB2=−9MA^{2}-MB^{2}= -9

est-il un cercle de centre II ? une droite perpendiculaire à (AB)(AB) ? une droite parallèle à (AB)(AB) ? l'ensemble vide ? un cercle de centre un autre point que II ?

Exponentielle, exercices du 29/04/2024

Exercice 1

Soit xx un réel, écrire sous la forme

A×exp(B)A \times exp(B) :

  • (exp(−3x)×exp(5x))4(exp(-3x) \times exp(5x))^{4}
  • (exp(x))2×exp(−2x)(exp(x))^{2} \times exp(-2x)
  • exp(x)×exp(2)exp(−2x)\frac{exp(x)\times exp(2)}{exp(-2x)}

Exercice 2

Soit xx un réel, écrire sous la forme

A×eBA \times \text{e}^{B} :

  • (ex−1)3×e3(\text{e}^{x-1})^{3} \times \text{e}^{3}
  • (e−x)2×ex(\text{e}^{-x})^{2} \times \text{e}^{x}
  • ee4x\frac{\text{e}}{\text{e}^{4x}}

Exercice 3

Pour chacune des suites définies ci-dessous, démontrer qu'elle est géométrique et déterminer sa raison.

  • ∀n∈N, un=3e−n\forall n \in \mathbb{N}, \: u_{n} = 3 \text{e}^{-n}
  • ∀n∈N, vn=ene−4n+3\forall n \in \mathbb{N}, \: v_{n} = \text{e}^{n} \text{e}^{-4n+3}
  • ∀n∈N, wn=e3n+1(e−n)2\forall n \in \mathbb{N}, \: w_{n} = \frac{\text{e}^{3n+1}}{(\text{e}^{-n})^{2}}